معادلات الحركة لجسم يتحرك بتسارع ثابت
تعد الحركة في خط مستقيم من اكثر انماط الحركة شيوعا , ويمكن القول انه في كثير من الاحيان تكون الحركة بتسارع ثابت . وعندما نقوم بدراسة جسم يتحرك بتسارع ثابت في خط مستقيم فأنه يلزم ان نتعرف على كافة متغيرات هذه الحركة.
لذلك عزيزي الدارس ستجد في الفقرات القادمة المعادلات التي تقدم وصف كامل لحركة الجسم.
المعادلة الاولى:
معادلة ------ (1)
حيث ت : تسارع الجسم.
ع2 : السرعة النهائية للجسم.
ع1 : السرعة الابتدائية للجسم.
ز : الزمن الذي حدث خلاله التغير.
وهذه المعادلة تستخدم لحساب تسارع الجسم اذا عُلمت سرعته الابتدائية ع1 وسرعته النهائية ع2 والزمن ز .
ويمكن استخدامها ايضا لحساب سرعة الجسم عند اي زمن مقداره ز حيث
ع2 - ع1 = ت ز وبعد اعادة ترتيب الحدود تصبح المعادلة كالتالي
المعادلة الثانية
معادلة ------ (2)
وتستخدم هذ المعادلة لحساب المسافة التي يقطعها الجسم (ف) اذا عُلمت سرعته الابتدائية ع1 وسرعته النهائية ع2 وزمن الحركة ز.
ويمكن اشتقاق المعادلة كما يلي :-
إذا تحرك الجسم بتسارع ثابت مقداره (ت) فإن : المسافة المقطوعة (ف) خلال زمن قدره (ز ) تكون :
معادلة ------ (أ)
حيث هي السرعة المتوسطة للجسم خلال فترة الزمن وتساوي :
معادلة ------ (ب)
وبتعويض معادلة (ب) في معادلة (أ) نحصل على المعادلة الثانية اعلاه.
المعادلة الثالثة:
معادلة ------ (3)
وتستخدم هذه المعادلة لحساب السرعة النهائية ع2 اذا عُلمت السرعة الابتدائية
ع1 والتسارع ت والمسافة التي قطعها الجسم ف ويمكن اشتقاق المعادلة السابقة
كما يلي :-
ومن المعادلة (2) السابقة يمكن استخراج الزمن (ز )
معادلة ------ (جـ)
ومن المعادلة (1) :
معادلة ------ (د)
نعوض الان هذه المعادلة في (جـ )
وباستخدام الضرب التبادلي :
معادلة ------ (هـ1)
وإذا لاحظت أن الطرف الأيسر هو فرق بين مربعين فتصبح العلاقة كما يلي :
معادلة ------ (هـ2)
وبإعادة ترتيب الحدود نحصل على المعادلة الثالثة.
المعادلة الرابعة:
معادلة ------ (4)
وتستخدم هذه المعادلة لحساب المسافة التي يقطعها الجسم ف خلال زمن ز اذا عُلمت السرعة الابتدائية ع1 والتسارع ت ويمكن اشتقاق المعادلة السابقة كما يلي :
باستخدام المعادلة رقم (2) مرة أخرى وإعادة ترتيب الحدود:
ف = 0.5 ع1 ز + 0.5 ع2 ز
لكن ع2 = ع1 + ت ز
وبتعويض قيمة ع2 ينتج أن :
ف = 0.5 ع1 ز + 0.5 [ ع1 + ت ز] ز
ف = 0.5 ع1 ز + 0.5 ع1 ز + 0.5 ت ز 2
وبتبسيط المعادلة السابقة نحصل على المعادلة الرابعة.
ملاحظة:
لحساب المسافة التي يقطعها الجسم في اي ثانية (ن) نستخدم المعادلة التالية:
معادلة ------ (5)
حيث ( ف)المسافة التي يقطعها الجسم في الثانية ن
ويمكن اشتقاق المعادلة السابقة كما يلي:-
ف = ف(ن) - ف (ن - 1) معادلة ------ (ط)
ف(ن ) = ع1 ن + 0.5 ت ن2
ف (ن - 1) = ع1 (ن - 1) + 0.5 ت (ن - 1)2
= ع1 ن - ع1 + 0.5 ت (ن 2 + 1 - 2 ن )
= ع1 ن - ع1 + 0.5 ت ن2 + 0.5 ت - ت ن
وبالتعويض في المعادلة (ط) :
ف = ع1 ن + 0.5 ت ن2 - ع1 ن + ع1 - 0.5 ت ن2- 0.5 ت + ت ن
وبتبسيط الحدود نحصل على المعادلة (5)
في الشكل السابق لحساب المسافة المقطوعة خلال الثانية الخامسة :
ف = ع1 + ت (5 - 0.5)
= 2 + 2 (4.5) = 11م
الإثنين نوفمبر 01, 2010 4:01 pm
